El Uno, cosa inverosímil

Los capítulos IX y X del Seminario …o peor, a los cuales hay que agregar también el capítulo XI, representan el momento pivote de la introducción del Uno en dicho seminario. No sabemos lo que es este Uno, resulta conveniente entonces no presuponerlo. Tenemos únicamente de partida el significante "Uno" que nos es dado por la lengua, con un cierto número de significados. Que haya del Uno es una cosa distinta, y una "cosa inverosímil", como nos lo dice Lacan [1].

Inverosímil, sí; pero ¿por qué?

 

Las dimensiones del Uno

No nos detendremos sobre las "dimensiones" del Uno [2] que distingue. Dejemos de lado el trazo unario que es el trazo de la segunda forma de identificación que distingue Freud [3]. Separemos también el Uno en el sentido del Uno fusional donde Freud ve el carácter de Eros [4]. Notamos que el cuerpo del individuo viviente es una de las formas del Uno [5]. Los elementos puntiformes que son los cuerpos celestes han podido dar también una idea del Uno [6]. En fin, otra dimensión del Uno se presenta aún bajo la forma de la unidad de los instrumentos de medida en geometría [7].

Vamos más bien a tomar a este Uno tal como habría surgido "al fin de una larga elaboración de discurso", como expresa Lacan [8], designando así por una parte la elaboración de Frege en sus Fundamentos de la aritmética y, por otra, la teoría de los conjuntos tal como ha sido elaborada por Cantor. Veremos que el Uno no se unifica del todo: guarda varias dimensiones, presentándose como "ambiguo" o "bífido", no "unívoco" [9].

 

El Uno y el cero

Retendremos esencialmente de Frege aquello que permite designar como la relación del Uno a la falta. Esa será desde el inicio su teoría del engendramiento de la serie de los números enteros naturales, a propósito de la cual Jacques-Alain Miller ha dado un esclarecimiento que hizo época en el curso del año del seminario de Lacan sobre los Problemas cruciales para el psicoanálisis [10]. Recordemos que el movimiento de esta lógica inspirada en Frege apunta a lo que el cero ahí comporta para el uno. Lacan hace allí referencia esencialmente en la tercera sección del capítulo IX [11]. Evoca "…la insuficiencia de toda deducción lógica del 1, ya que esta debe pasar por el 0, del cual no puede decirse que sea el 1, y sin embargo a partir de ese 1 que falta a nivel del 0 procede toda la sucesión aritmética. Porque ya, de 0 a 1, da dos. Desde ahí, esto dará tres, porque habrá 0, 1 y 2. Y así sigue" [12].

Pero este Frege es presentado a lo largo del capítulo y ustedes lo encontrarán ya mencionado desde las primeras páginas bajo la figura "del Uno y del No-uno -o sea, cero-" [13], díada que viene aquí para desplazar la díada freudiana de Eros y Tánatos. Y encontrarán aún el mismo punto en Frege, expresado esta vez en el vocabulario de la teoría de los conjuntos, bajo la denominación de "…el Uno del conjunto vacío que, cosa curiosa, agregaría dos a nuestro recuento de elementos" [14].

El resorte de esta referencia a Frege es poner en relación el 1 con el cero, y encontramos aún el principio con una referencia ulterior a los Fundamentos de la aritmética donde Frege ilustra, por el uso de la correspondencia biunívoca que practica el jefe del comedor, el surgimiento del uno a partir de la falta de uno cuando confronta "…uno por uno cada uno de los elementos de un conjunto de cuchillos con un conjunto de tenedores" [15]. "Una vez que de un lado aún quede uno mientras que del otro ya no quedan más, ¿qué se revelará? Que el Uno comienza en el nivel en que hay uno que falta". Y Lacan prosigue: "El conjunto vacío es entonces estrictamente legitimado por ser […] la puerta cuyo franqueamiento constituye el nacimiento del Uno" [16].

Lacan pasa así a una referencia a la teoría de los conjuntos que agrega a las dimensiones del Uno un "surgimiento" que no es unívoco [17]: en efecto, somos conducidos a considerar que el Uno que constituye el elemento de un conjunto y el Uno que constituye al conjunto como un todo deben ser distinguidos; que los elementos de un conjunto cuentan cada uno como uno, por poco que ellos sean pura y simplemente distintos [18]; que incluso un elemento como Uno, en la teoría de los conjuntos, "señala -dice Lacan- que debe fundarse en la pura y simple diferencia" [19]. Y todo esto se funda en el hecho que el elemento como uno es equivalente al conjunto vacío [20].

La referencia a la teoría de los conjuntos permite a Lacan acentuar, por una parte, el equívoco del Uno entre el Uno del conjunto, el Uno del elemento y el Uno del conjunto vacío. Esto lo conduce, a su vez, a hacer un cierto uso del número transfinito. Ese pasaje cursivo revisando las referencias de Lacan a Frege y a la axiomática de la teoría de los conjuntos -que, todas, se condensan en la relación del Uno y el cero- nos lleva precisamente a la cuestión del Aleph, que Lacan inserta a las precedentes porque se trata de la teoría de los conjuntos pero que debe ser distinguida ahora suficientemente, aunque más no sea porque es acá que se introduce la cuestión del infinito que nos es necesario examinar ahora.

 

El Uno y el infinito

Sabemos poco sobre lo que es ₀. Recuerdo solamente que se trata del cardinal de conjunto enumerable, del cual el tipo es el conjunto de los números enteros. Cantor ha resuelto con una elegante simplicidad la cuestión del infinito actual distinguiendo infinitos de potencias graduadas, de las cuales la primera, ₀ abre sobre una gradación de Alephs superiores. Son los números transfinitos que ha inventado. En particular, hay sobre el cardinal de la serie infinita de los números enteros ₀, el cardinal de la potencia del continuo que es aquella del conjunto de los números reales.

La potencia del continuo es inmediatamente superior a ₀ (¿es decir que es ₁?, ¿o hay, entre el infinito numerable de los números enteros y el infinito no-enumerable de los números reales, cardinales transfinitos intermedios? Es la hipótesis del continuo que había planteado Cantor desde 1874. Habría querido demostrar que el primer transfinito ₀ estaba inmediatamente seguido por aquel de la potencia del continuo, pero no alcanzó a hacerlo. Gödel ha demostrado en 1938 que la hipótesis del continuo no era refutable en la teoría de los conjuntos standard [21], luego Paul Cohen ha demostrado en 1963 que no era demostrable. La hipótesis del continuo es entonces indecidible. Es un punto sobre el cual voy a volver.

Una formulación de Lacan debe detenernos ahora: "Me demoro para decirles la importancia de esta cosa inverosímil: que haya Uno. Ese es el punto que debe destacarse. En efecto, en cuanto se interroga a ese Uno, y él pasa a ser como una cosa que se deshace [22], es imposible relacionarlo con lo que fuere, excepto con la serie de los números enteros, que no es otra cosa que ese Uno" [23].

Aislemos esta frase, desprendámosla así del texto que sigue del seminario y sustituyamos Aleph cero a la expresión "la serie de números enteros": "En efecto, en cuanto se interroga a ese Uno, y él pasa a ser como una cosa que se deshace, es imposible relacionarlo con lo que fuere, excepto con ₀, que no es otra cosa que ese Uno. Esto no surge más que al final de una larga elaboración de discurso". Es aquí que es evocada la cuestión del 0 y el 1 de la lógica de Frege, de la cual "procede toda la sucesión aritmética. Porque ya, de 0 a 1, da dos. Desde ahí esto dará 3, porque habrá 0, 1 y 2. Y así sigue, precisamente hasta el primero de los Alephs, que, curiosamente y no por nada, solo puede designarse como Aleph cero" [24].

Se trata de "desenredar" lo que dice Lacan, porque aquí teje a la vez lo que avanza de la lógica significante al modo de Frege y lo que avanza concerniente a Haiuno como Aleph cero. Es una evidencia, inscripta en el texto negro sobre blanco, pero no se lo ha destacado suficientemente.

El Uno no es otro que ₀, Lacan lo afirma aún más explícitamente en ese pasaje sobre lo mismo -cuestión sobre la que volveremos-: "El Uno, en la medida en que es calificable como mismo, no surge entonces […] más que de una manera exponencial, quiero decir, a partir del momento en que el Uno que está en juego no es otra cosa que ese Aleph cero que simboliza el cardinal del infinito numérico" [25].

El compendio de historia de las matemáticas que nos da Lacan toma su sentido precisamente de haber tratado lo que se llama "la extravagancia del número", es decir "algo que sale del campo del Uno"[26]. Hay que comprender aquí: que sale del campo del Uno de la lógica del significante al modo de Frege y llama entonces a elaboraciones que resultan de lo que Lacan llama "el campo Uniano"[27]. Las ilustraciones que Lacan aporta son todas ejemplos de la incidencia del infinito en el campo del Uno (del Uno de la numeración entera como opuesta a lo Uniano): el número irracional, el método de exhaustación de Arquímedes, las series trigonométricas de Fourier, la reducción del cálculo infinitesimal por procedimientos finitistas. Hay acá o bien manifestaciones de lo que Lacan llama "extravagancia numérica" que han llevado al infinito, o bien maneras de evitarlo [28] recurriendo al cálculo sobre cantidades finitas.

Lacan nota que la fórmula "Haiuno" que intenta introducir "…se distingue -dice- de toda la diferencia que hay entre lo escrito y la palabra" [29]. Sin duda valdría la pena examinar la cuestión de la escritura en relación con la determinación del Uno como ₀.

 

El Uno: que no accede al dos

El título general que J.-A. Miller ha dado a la sección de capítulos del seminario, de la cual nuestros dos capítulos IX y X son los primeros, es: "El Uno: que no accede al dos" [30]. Inicialmente se comprende mal este enunciado. Se comprende seguramente la tesis que comporta: que el Uno está separado del Otro, que el acceso al Otro no va de suyo, que inicialmente es el Uno-totalmente-solo, etc. ¿Pero como Lacan pude hacer del dos un acceso barrado mientras que a lo largo de nuestros dos capítulos afirma continuamente que la construcción de Frege permitía el engendramiento de la serie de los números enteros [31]? ¿Cómo arribar entonces de acá al enunciado, de tipo matemático, de que el Uno no accede al dos?

Todo debe ser retomado a partir de la idea de que el Uno es ₀.

El problema de la hipótesis del continuo puede ahora ser expresada en los términos siguientes: sabemos lo que es el Uno, no sabemos lo que es el dos. La indecibilidad de la hipótesis del continuo hace del acceso del Uno al dos una especie de no man´s land. Seguramente son términos intuitivos pero bastan para dar cuenta de lo que Lacan enunciará más lejos en el seminario como "la inaccesibilidad del 2": "En efecto, -dice- lo que se constituye a partir del 1 y del 0 como inaccesibilidad del 2 sólo se entrega a nivel del ₀, es decir, el del infinito actual"[32].

Lacan no hace sobre este punto más que extraer la consecuencia de lo que hemos destacado. A este respecto señala: "Una observación de Gödel es aquí esclarecedora: el ₀, o sea, el infinito actual, resulta realizar el mismo caso que el 1"[33]. Lacan no nos dice de qué observación se trata pero podría tratarse bien de aquella dirigida precisamente hacia la hipótesis del continuo de Cantor que Gödel formula así: esta hipótesis "enuncia que no existe ningún número cardinal entre la potencia de un conjunto arbitrario cualquiera y la potencia del conjunto de sus subconjuntos"[34]. Es sobre esta cuestión del cardinal del conjunto de las partes de un conjunto que se orientan un cierto número de enunciados de Lacan[35], en particular su uso del triángulo de Pascal, o su discusión (en el capítulo XI) de la fórmula 2₀.

La fórmula 2n representa la suma de los subconjuntos de un conjunto con n elementos. Y el triángulo de Pascal nos figura en cada una de esas líneas la suma de los subconjuntos en 1, luego 2, luego 3… luego n elementos. Lacan nota que, en el triángulo de Pascal, la línea de los 1 que el borde responde al conteo del conjunto vacío que forma parte siempre de todo conjunto[36]. La insistencia de Lacan sobre el triángulo de Pascal responde entonces a la posibilidad de ver figurada ahí a la vez[37] el 1 del conjunto vacío y ₀ aunque bajo la forma 2₀ que corresponde a la fórmula 2n cuando n=₀ (2₀ es, en el cuadro de la hipótesis del continuo, el valor del cardinal del continuo, es decir del conjunto de los números reales que se llama aun lo no numerable)[38].

 

El Uno y la perspectiva que interroga lo real en una cierta dirección

Un último punto tiene para nosotros una gran importancia: la distinción, por una parte, entre ₀, el cardinal de lo enumerable que es el Uno -como los hemos destacado- y, por otra parte, la potencia del continuo nos es siempre neta en el texto del seminario. Lacan aborda esta cuestión cuando, preguntándose de dónde surge el Uno, evoca lo repentino, el instante, lo súbito: "Este es de hecho el único punto donde él [Platón] puede hacer que subsista. Dios sabe que la elucidación del número fue llevada lo bastante lejos como para darnos una idea de que hay otros Alephs además del de los números; y este, este instante, este punto -ya que esta sería su verdadera traducción- solo resulta decisivo en el nivel de un Aleph superior, en el nivel del continuo"[39].

Se encuentra la misma dificultad en el capítulo X. Lacan, después de haber notado que la teoría de los conjuntos permite definir un número como la clase de equivalencia de todos los conjuntos que tienen ese número como cardinal, indica: "La teoría de conjuntos está hecha entonces para restaurar el estatus del número" y agrega que es "…al enunciar como lo hace el fundamento del Uno, y al hacer que en él se base el número como clase de equivalencia" [40]. Lacan, por su parte, califica a ese no-numerable como objeto mítico y propone traducirlo como "lo imposible de numerar".

¿Cómo comprender esto? De hecho, Lacan figura lo imposible por la serie de Alephs y esto, habiendo encontrado su existencia matemática gracias a Cantor, le basta para que ella exista a partir de su primer término, sin que nos sea necesario discernir entre los diferentes Alephs. Tal es al menos -precisa- la perspectiva de lo que anuncia[41].

Concluyamos ahora: el Uno, es el Uno que se encadena y articula, aquel del cual el cero autoriza el acceso al dos y más allá. Este Uno, cuando se lo considera con la teoría de los conjuntos, implica la "diferencia radical"[42] de un elemento al otro -pero, por eso, la mismidad de esta diferencia sobre el fondo que "Todo lo que se define como elemento es equivalente al conjunto vacío"[43].

Hay entonces el Uno que se encadena. Y hay el Uno-totalmente-solo, "el Uno como uno solo" [44], dice Lacan, encontrando acá también la noción de la soledad del Uno, sobre la cual los neoplatónicos habían ya puesto el acento.

La ciencia, "que se fía en el número como tal", se atiene especialmente al Uno de la "lógica del número"[45]. Pero a lo que da acceso el psicoanálisis es a un real que ex-siste a lo simbólico, un imposible que figura al S1 "como Uno solo" que puede producir al sujeto[46].

Terminemos con esta frase sensacional e infinitamente sugestiva de Lacan cuando distingue la realidad que "Siempre podemos captar […] en el nivel del fantasma" [47] y lo real al cual "…sólo accedemos en y mediante ese imposible que sólo define lo simbólico" [48]: "la perspectiva que interroga lo real en cierta dirección -señala- nos ordena enunciar así las cosas".

París, ECF, Noches de estudios lacanianos, 20 de marzo de 2012.